Schatten rotierender Schwarzer Löcher
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Obwohl ein Schwarzes Loch nicht sichtbar ist, kann man es dennoch beobachten - es wirft einen Schatten, wenn es sich vor einem hellen Hintergrund befindet. Bereits seit den frühen 1970'er Jahren (Bardeen 1973, Luminet 1979, Quien et al. 1995, Hollywood und Melia 1997, Falcke et al. 2000, Bromley et al. 2001) wurden die scheinbaren Formen spezieller Schwarzer Löcher berechnet, de Vries (2000) erstellte Plots von Schatten allgemeiner rotierender und elektrisch geladener Schwarzer Löcher, in Abhängigkeit von ihrem Drehimpuls und ihrer Ladung. Sie können den folgenden Button drücken, um solche Plots berechnen zu lassen.

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Im Weiteren wird kurz erklärt: Wie kann man solche Schattenumrisse bestimmen? Was sind die grundlegenden Prinzipien dieser Berechnungen?

Geometrische Optik

Im Kern basiert die Berechnung der scheinbaren Gestalt eines allgemeinen Schwarzen Lochs auf der geometrischen Optik: eine elektromagnetische Welle bewegt sich näherungsweise auf einer Schar von Lichtstrahlen fort, die senkrecht zu den Wellenfronten stehen. Gemäß der Allgemeinen Relativität nun sind Lichtstrahlen gebogene Kurven in einer durch vorhandene Massen gekrümmten Raumzeit.

Damit jedoch die Näherung der geometrischen Optik gültig ist, muss die Wellenlänge λ klein sein im Verhältnis zu dem typischen Krümmungsradius des Raumzeitgebiets. Für ein Schwarzes Loch von Sonnenmasse beispielsweise beträgt der Radius r+ des so genannten Ereignishorizonts (der "Rand" des Schwarzen Lochs) etwa 1,5 km, d.h., er ist von der Größenordnung des Krümmungsradius in der Umgebung des Horizonts. Somit ist für Mittelwellenstrahlung (mit λ zwischen 100 m und 1 km), die in Horizontnähe entsteht, die geometrische Optik keine gute Näherung, aber für etwas höherfrequente Radiotrahlung sehr wohl, erst recht für kürzere Wellen wie Infrarot, Licht oder gar Röntgenstrahlung.

Für das Zentrum unserer Milchstraße, mutmaßlich ein riesiges Schwarzes Loch von etwa 2,6 Mio Sonnenmassen, beträgt der Krümmungsradius etwa 4 Mio km, d.h. der Messfehler einer langwelligen Quelle (λ um 10 km) ist etwa 1:400000.

Nehmen wir die Ungenauigkeit der geometrischen Optik in Kauf, so erfahren wir die Welt um uns herum als eine optische Täuschung. Da die Lichtstrahlen, die einen Beobachter im unendlich Fernen erreichen, gekrümmt sind, scheinen sie aus einer ganz anderen Richtung zu kommen. Um den scheinbaren Ort einer Lichtquelle in der projizierten Himmelsfläche des Beobachters darzustellen, werden die Koordinaten (x, y) wie aus der folgenden Abbildung ersichtlich verwendet:

ray illusion
Fig. 1. Die (x,y)-Koordinaten, die den scheinbaren Ort eines Lichstrahls bezüglich der projizierten, das Zentrum der Raumzeit beinhaltenden Ebene lotrecht zum Beobachter angeben: x bezeichnet den scheinbaren Abstand von der Rotationsachse, und y die Projektion der Rotationsachse (gestrichelte Linie) selbst. theta bezeichnet den Breitengrad (der sich vom Nordpol bei theta = 0 bis zum Südpol bei theta = pi erstreckt).

Geschlossene Photonenbahnen

Eine genauere Analyse der Lichstrahlen in einer allgemeinen Kerr-Newman-Raumzeit (einer Verallgemeinerung rotierender und elektrisch geladener Schwarzer Löcher) mit einer Singularität zeigt, dass es Photonen gibt, die sich auf geschlossenen Bahnen bewegen (Bardeen 1973, Chandrasekhar 1983, de Vries 2000), also auf Ellipsen. Solche Bahnen beschreiben den Grenzwert der innersten Photonenbahnen, die aus dem Unendlichen kommend wieder zurück ins Unendliche entkommen. (Hier bedeutet das "Unendliche" das asymptotisch flache Gebiet weit entfernt von dem Schwarzen Loch; allerdings beträgt in einer Distanz von etwa dem 25-fachen des Ereignishorizonts r+ der Krümmungsradius R = 125r+, d.h. asymptotisch flache Raumzeitregionen werden recht schnell erreicht.)

Für einen Beobachter im unendlich Fernen, der ein Schwarzes Loch vor einem leuchtenden Hintergrund sieht, wirft es somit einen Schatten, der in der Näherung der geometrischen Optik durch die Menge der geschlossenen Photonenbahnen gegeben ist.

de Vries (2000) analysierte das nichtlineare Differentialgleichungssystem, das geschlossen Photonenbahnen bestimmt. Er fand heraus, dass für eine Kerr-Newman-Raumzeit (einer Verallgemeinerung eines Schwarzen Lochs)mit Masse M, Drehimpuls a und elektrischer Ladung Q, der scheinbare Ort eines auf einer geschlossenen Bahn vom Radius r in den Koordinaten (x, y) eines asymptotischen Beobachters in dem Breitenkreis theta durch die folgenden recht komplizierten Formeln gegeben ist:

x = rD + rQ2 - M (r2 - a2)
a (r-M) sin theta

y2 = 4r2D - ( x - a sin theta)2.
(r-M)2

mit D = r2 - 2Mr + a2 + Q2. Für Parameter, die die "kosmische Zensur" (Penrose 1979) erfüllen, die so genannte nackte Singularitäten verhindert, nämlich M2 ≤ a2 + Q2 (de Vries and Schmidt-Kaler 2002), ergeben diese Formeln wohldefinierte geschlossene Kurven auf der Himmelskugel des Beobachters, die Schattenkurven Schwarzer Löcher. Bitte drücken Sie den folgenden Button, um solche Schattenkurven berechnen zu lassen.

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Literatur


Weitere Links:

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