Der Banzhaf’sche Machtindex
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Der Banzhaf-Index ist eine Kennzahl, mit der die politische Macht jedes einzelnen Mitglieds eines Abstimmsystems gemessen wird. Ein Mitglied eines Abstimmsystems ist beispielsweise eine Partei in einem Parlament oder ein Staat in einem Staatenbund. Im allgemeinen wird jedes Mitglied eines solchen Abstimmsystems eine unterschiedliche Anzahl von Stimmen haben, so dass entsprechend die politische Macht unterschiedlich sein wird.

Der Banzhaf-Index wird letztlich durch einfaches Abzählen bestimmt: Für jedes Mitglied werden alle kombinatorisch möglichen gewinnenden Koalitionen gezählt, an denen es beteiligt ist. Eine Koalition wird dabei allerdings nur mit gezählt, wenn für sie das Mitglied wesentlich ist, d.h. wenn sie schon nicht mehr gewinnend ist, sobald das Mitglied sie verlässt. Nehmen wir den einfachen Fall eines Parlaments mit drei Parteien A, B und C und der folgenden Sitzverteilung an.

Partei Sitze
A 50
B 49
C   1

Offensichtlich kann die Mehrheit von 51 Stimmen nur durch eine Koalition erreicht werden, keine Partei kann allein regieren. Der Banzhaf-Index errechnet sich durch einfaches Abzählen:

Jede dieser aufgezählten Koalitionen enthält die jeweilige Partei als wesentlichen Koalitionspartner, sie wäre ohne sie nicht mehr gewinnend. (Beachten Sie, dass A für die Koalition ABC wesentlich ist, aber B und C jeweils nicht!) Die "Banzhaf-Macht" von A ist somit 3, während die von B und C jeweils 1 ist. Dies ergibt die "gesamte Banzhaf-Macht", oder auch "Penrose-Zahl", von 3+1+1 = 5. Der Banzhaf-Index ist dann genau die "normalisierte" Banzhaf-Macht:

Partei Sitze Banzhaf-Index
A 50 60% (=3/5)
B 49 20% (=1/5)
C   1 20% (=1/5)

Auf den ersten Blick überraschend: Aus Sicht der Banzhaf-Macht ist B nicht mächtiger als C, obwohl B viel mehr Stimmen hat!

Die Situation kann verallgemeinert werden auf den Fall, in dem die bloße Stimmenmehrheit nicht ausreicht, um eine gewinnende Koalition zu ergeben, sondern in dem eine vorgegebene Stimmenquote erreicht werden muss (beispielsweise eine 2/3-Mehrheit). Manchmal muss sogar eine weitere Stimmenquote erfüllt werden, abhängig von äußeren Faktoren wie die Bevölkerungszahl des sie vertretenden Staates oder ein Vetorecht für bestimmte Mitglieder. Beispiele sind der Europarat oder der Sicherheitsrat der UNO.

Für weitere Details, siehe beispielsweise:

Sie können die Java-Applikation Banzhaf.jarDuke herunterladen, die die Banzhaf-Indizes eines Abstimmungssystems mit verschiedenen Stimmgewichten und und Abstimmungsquoten berechnet.

Einige Ergebnisse verschiedener Szenarien für den Rat der Europäischen Union (z.B. Verträge von Nizza und Lissabon, mit oder ohne Großbritannien ...) sind hier dokumentiert: Banzhaf_Council-EU.xls


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